Vamos a entender Quien fue Isaac Newton y que aporte hizo a la matemática con relación a la derivada, pero primero vamos a conocer su biografía
Nacimiento: 4 de enero de 1643
Lugar de nacimiento: Woolsthorpe Manor, Reino Unido
Nombre completo: Sir Isaac Newton
Fallecimiento: 31 de marzo de 1727, en Londres, Inglaterra.
Residencia :Inglaterra
Nacionalidad : Británica
Religión : anglicanismo, arrianismo
Área: Física, matemáticas, astronomía, teología, alquimia
Conocido por: Leyes de la dinámica, Teorema binomial/Leyes de la cinemática, Teoría corpuscular de la luz, Desarrollo del cálculo diferencial e integral
Aportes a la matemática a la derivada
Isaacc Newton y su aporte mas significativo
La derivada es una herramienta matemática para ello. Isaac Newton desarrolló los principios del cálculo diferencial en su obra Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum (1671). En ese trabajo, da los pasos precisos alrededor de los conceptos de función y de límite, que le permiten plantear matemáticamente cuando las cantidades varían infinitesimalmente y, de esta forma, describir el movimiento de un punto que traza una curva, situación que expresa de la siguiente forma
Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.
Cálculo diferencial
El cálculo diferencial es el estudio de la definición, propiedades, y aplicaciones de la derivada de una función, o lo que es lo mismo, la pendiente de la tangente a lo largo de su gráfica. El proceso de encontrar la derivada se llama derivación o diferenciación. Dada una función y un punto en su dominio, la derivada en ese punto es una forma de codificar el comportamiento a pequeña-escala de la función cerca del punto. Encontrando la derivada de una función para cada punto en su dominio, es posible producir una nueva función, llamada la “función derivada” o simplemente la “derivada” de la función original. En lenguaje técnico, la derivada es un operador lineal, el cual toma una función y devuelve una segunda función, de manera que para cada punto de la primera función, la segunda obtiene la pendiente a la tangente en ese punto.
El concepto de derivada es fundamentalmente más avanzado que los conceptos encontrados en el álgebra.
Para entender la derivada, los estudiantes deben aprender la notación matemática. En notación matemática, un símbolo común para la derivada de una función es una marca parecida a un acento o apostrofo llamada símbolo primo. Así la derivada de f es f′ (pronunciado “f prima”).
En lo siguiente la segunda función es la derivada de la primera:
Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces la derivada representa el cambio con respecto del tiempo. Por ejemplo, si “f” es una función que toma el tiempo como entrada y da la posición de la pelota en ese momento como salida, entonces la derivada de “f” es cuánto la posición está cambiando en el tiempo, esto es, es la velocidad de la pelota.
Si la función es lineal (esto es, la gráfica de la función es una línea recta), entonces la función
puede ser escrita de la forma y = mx + b, donde: 
El teorema fundamental del cálculo establece: Si una función f es continua en el intervalo [a, b] y si F es una función cuya derivada es f en el intervalo (a, b), entonces 
Así entonces, para cada x en el intervalo (a, b), es cierto que: 
Cálculo integral
El cálculo integral es el estudio de las definiciones, propiedades, y aplicaciones de dos conceptos relacionados, la integral indefinida y la integral definida. El proceso de encontrar el valor de una integral es llamado integración. En lenguaje técnico, el cálculo integral estudia dos operadores lineales relacionados.
La integral indefinida es la antiderivada, es decir, la operación inversa de la derivada. La función F es una integral indefinida de la función f cuando f es una derivada de F. (El uso de mayúsculas y minúsculas para distinguir entre la función y su integral indefinida es común en el cálculo).
La integral definida es un algoritmo que transforma funciones en números, los cuales dan el área entre una curva de un gráfico y el eje-x. La definición técnica de la integral definida es el límite de una suma de áreas de rectángulos, llamada suma de Riemann.
Teorema fundamental
El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Más precisamente, relaciona los valores de las antiderivadas para definir las integrales. Ya que es normalmente más fácil computar una antiderivada que aplicar la definición de una integral definida, el teorema fundamental del cálculo provee una forma práctica de computar integrales definidas. También puede ser interpretado como una declaración precisa del hecho de que la diferenciación es la inversa de la integración.
Así entonces, para cada x en el intervalo (a, b), es cierto que:
Este hecho, descubierto tanto por Newton como Leibniz, quienes basaron sus resultados en el trabajo previo de Isaac Barrow, fue clave para la masiva proliferación de resultados analíticos luego que su trabajo fuese conocido. El teorema fundamental provee un método algebraico para calcular muchas integrales definidas – sin realizar el proceso de cálculo de límites – mediante el encuentro de fórmulas apropiadas para las antiderivadas. Las ecuaciones diferenciales relacionan a una función a sus derivadas, y son omnipresentes en las ciencias.
Gottfried Wilhelm Leibniz y sus aportes a la matemática con relación a la derivada.
Nacimiento: 1 de julio de 1646, Leipzig, Alemania
Fallecimiento: 14 de noviembre de 1716, Hannover, Alemania
Área: filósofo, matemático, lógico, teólogo, jurista, bibliotecario y político alemán
Obras notables: Discurso de metafísica; Théodicée
Estudiantes doctorales: Nicolas Malebranche, Christian Wolff y Jakob Bernoulli
Influenciado por: René Descartes, Baruch Spinoza, Platón
Aportes a la matemática a la derivada
La notación
F(x)~d(x)
1. Calculo diferencial
El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial.
En el estudio del cambio de una función cuando cambian sus variables independientes es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.
En notación matemática, un símbolo común para la derivada de una función es una marca parecida a un acento o apostrofo llamada símbolo primo. Así la derivada de f es f′ (pronunciado "f prima"). En lo siguiente la segunda función es la derivada de la primera:
Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces la derivada representa el cambio con respecto del tiempo. Por ejemplo, si “f” es una función que toma el tiempo como entrada y da la posición de la pelota en ese momento como salida, entonces la derivada de “f” es cuánto la posición está cambiando en el tiempo, esto es, es la velocidad de la pelota.
Si la función es lineal (esto es, la gráfica de la función es una línea recta), entonces la función puede ser escrita de la forma y = mx + b, donde
Línea tangente en (x, f(x)). La derivada f′(x) de una curva en un punto es la pendiente de la línea tangente a esa curva en ese punto.
2. CÁLCULO INTEGRAL
El cálculo integral, es una rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las integrales y las anti derivadas se emplea más para calculas aéreas y volúmenes. Fue usado principalmente por, Aristóteles, Descartes, newton y Barrow. Barrow con las aportaciones de newton creo el teorema de cálculo integral que dice: que la integración y la derivación son procesos inversos.
Es el estudio de las definiciones, propiedades, y aplicaciones de dos conceptos relacionados, la integral indefinida y la integral definida. El proceso de encontrar el valor de una integral es llamado integración. En lenguaje técnico, el cálculo integral estudia dos operadores lineales relacionados
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL:
El teorema fundamental del cálculo integral consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la anti derivada de la función al ser integrada.
Los pasos para el Teorema fundamental del cálculo:
1.-Se verifica el dominio de la función de la integral dentro del intervalo a evaluar.
(El teorema sólo se puede aplicar si la función es continua para todo el intervalo).
2.- Se resuelve la integral de acuerdo a la función presente, puede ser cualquier método de integración. (Los límites de integración deben concordar con la variable a estudiar, es decir si se realiza un cambio de variable se deben cambiar los límites).
3.- Se debe evaluar la función resultante, sustituyendo los límites superior menos inferior, como se puede ver en la figura es por la diferencia.
2.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Es la anti derivada es decir, la operación inversa de la derivada. La función F es una integral indefinida de la función f cuando f es una derivada de F. (El uso de mayúsculas y minúsculas para distinguir entre la función y su integral indefinida es común en el cálculo).
Propiedades de la integral indefinida.
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
∫f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
2.2 INTEGRAL DEFINIDA
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:
Ilustración gráfica del concepto de integral definida.
Función integral considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir una función matemática de la forma:
Donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.
Interpretación geométrica de la función integral o función área:
Rene Descartes traslación de curvas-Geometria Analitica
Fallecimiento: 11 de febrero de 1650, Estocolmo, Suecia
Obras notables: Discurso del método; Meditaciones metafísicas
Educación: Universidad de Poitiers (1614–1616), Universidad de Franeker, Universidad de Leiden, Pritaneo Nacional Militar
Influenciado por: Platón, Aristóteles, Agustín de Hipona
Aportes
Descartes desarrolla un método para el trazado de
rectas tangentes mediante la construcción previa de la recta normal. Este método,
conocido como el método del círculo, es puramente algebraico y fue introducido
por Descartes aludiendo a los principios de su Geometría analítica y centrando
Descartes es señalado como el padre de la geometría analítica pero no hay en la Geometría gráfica de ecuación alguna. Las curvas eran construidas por acciones geométricas la mayor parte de las cuales eran representadas mediante instrumentos mecánicos. Una vez dibujadas las curvas, Descartes introducía el sistema de coordenadas para analizar el proceso de construcción de la curva y obtener una ecuación que representara dicha curva. Así, las ecuaciones no creaban las curvas; éstas generaban ecuaciones. Lo que hizo Descartes fue usar las ecuaciones para realizar una clasificación de las curvas.
El aparato tiene una doble finalidad:
- Los triángulos ABC, ACD, ADE, AEF, AFG y AGH son semejantes por lo que tenemos:
Es decir, este aparato permite calcular raíces cúbicas por lo que se puede usar para la duplicación del cubo y la trisección del ángulo.
- El punto B describe una circunferencia pero los puntos D, F y H describen curvas cada vez más complicadas. Si llamamos
Hiperbológrafo de Descartes.
El segundo de los mecanismos que aparece en la Geometria es un hiperbológrafo descrito por el propio Descartes:
Sea la curva EC descrita por la intersección de la barra GL con la figura rectilínea NKL cuyo lado KN es generado indefinidamente en dirección a C y que, movido en el mismo plano de manera que su diámetro KL coincide siempre con parte de la línea AB, proporciona a la barra GL un movimiento giratorio alrededor de G (la barra está unida a la figura NKL en L). Si quiero encontrar a que clase pertenece esta curva, elijo una línea recta, como AB, y en ella elijo un punto A por el que empezar la investigación. Digo 'escojo esto y esto' porque somos libres de elegir los que queramos para hacer la ecuación los más corta y simple posible y no importa qué recta escoja en vez de la AB ya que la curva será siempre de la misma clase como es facilmente demostrable.
Así, Descartes asegura que el grado de la ecuación que describe la curva es independiente del sistema de coordenadas elegido. Para encontrar la ecuación que describe esa curva, procede de la siguiente forma: introduce las variables AB = y, BC = x y las constantes GA = a, KL = b y NL = c. Como los triángulos KLN y KBC son semejantes, tenemos:
De aquí, se tiene que:
Como los triángulos LBC y LAG son semejantes:
de donde obtenemos:
Entonces:
Descartes clasificó las curvas de acuerdo a pares de grados algebraicos; por ejemplo, las rectas y las cónicas constituían la primera clase (usó el término género), las de tercer y cuarto grado la segunda clase, etc. Esta clasificación es completamente natural cuando uno está trabajando con mecanismos articulados y trayectorias (locus). Con cada iteración de mecanismos, el grado de las curvas aumenta en dos con algunos casos especiales donde aparecen curvas de grado impar. Se abre así un camino para generar curvas de cualquier grado de forma mecánica.
Web Grafías:
https://www.ugr.es/~eaznar/newton.htm
https://aportacionesalamatematica.wordpress.com/2016/08/30/aportaciones-de-newton-a-las-matematicas/
http://www.dma.eui.upm.es/historia_informatica/doc/Personajes/GottfriedLeibniz.htm
http://132.248.48.64/repositorio/moodle/pluginfile.php/1146/mod_resource/content/4/contenido/index.html
https://sites.google.com/site/gottfriedleibniz2013/4-5-aportes-a-la-matemtica
https://sites.google.com/site/gottfriedleibniz2013/4-5-aportes-a-la-matemtica
https://www.redalyc.org/pdf/468/46818606009.pdf
https://sites.google.com/site/tesislinkages/evolucion-historica/historia3
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